Introduction

Une plaque est maintenue à une température constante de 230 °C. Pour assurer ce maintien, elle est divisée en 6 parties chacune renfermant une résistance électrique. On recherche la puissance électrique nécessaire pour chacun de ces éléments. Les résultats entre exemple et simulation sont différents, l'exemple utilisant les valeurs moyennes de h. La dépendance de h en x^-1/n est mal prise en compte, la simulation est ici bien plus précise.

• Données :

• Largeur plaque : 1 m, longueur : 0.3 m
• Longueur élément : 0.05 m
• Température environnement : 25 °C
• Vitesse air : 60 m/s (1 atm.)

Question / Réponse

• Quelle est la puissance électrique nécessaire pour maintenir chaque élément à 230 °C?

• Réponse :

Il faut déterminer le coefficient h_moyen du premier élément et vérifier à partir de quelle distance l'écoulement devient turbulent (les échanges thermiques deviennent alors plus efficaces). Cela permettra d'évaluer h(x) sur la longueur de la plaque.

1. Calcul de ν (viscosité cinématique)

(Remarque : bien que les seules températures disponibles soient 25 et 230 °C, le calcul de ν et fait pour 400 K soit 126 °C. Il s'agit d'un problème d'édition; on conservera cependant cette valeur pour comparer les résultats finaux.)
ν est pris directement à la valeur 26.41e^-6 m²/s par la table A.4 du livre cité en référence ci-dessus.


2. Calcul de Re (nombre de Reynolds)

Re est donné par la relation (premier élément soumis à un air de 60 m/s)
Re = u_∞ x (L / ν) = 60x(0.05/26.41e^-6) = 1.14e⁵ (==> écoulement laminaire)


3. Calcul de Nu (nombre de Nusselt)

Nu = 0.664xRe^1/2xPr^1/3 = 0.664x1.14e⁵x0.69^1/3 = 198


4. Calcul de h (coefficient de transfert thermique)

h = (Nu x k) / L, avec k conductictivité thermique donnée : 0.0338 W/K•m
soit h = (198x0.0338)/0.05 ≅ 134 W/K•m²

La vitesse de l'air étant rapide, on détermine l'abscisse à partir de laquelle l'écoulement devient turbulent, puis on définira la valeur h(x) sur l'ensemble de la plaque.

1. Calcul de Xc

X_critique est tiré par la relation
Re = u_∞ x (Xc / ν) ==> Xc = (26.41e^-6/60)x5.0e⁵,
soit Xc = 0.22 m.
(5.0e⁵ est la valeur du nombre de Reynolds quand l'écoulement devient turbulent)


2. Expression de h(x) (coefficient de transfert thermique)

h est de la forme
imp(x,0,0.22)•h_lam(x)+imp(x,0.22,0.3)•h_turb(x)
(imp(x,x0,x1) = 1 pour x0≤x≤x1 et = 0 ailleurs, c'est la fonction "impulse" de QuickField )
avec h_lam(x)∼x^-1/2 et h_turb(x)∼x^-1/5.
Pour l'écoulement laminaire, on a ∫a•x^-1/2 = 134 pour x = 0 à 0.22, soit a≅40.
Le rapport de h_moyen entre laminaire et turbulent est de 2.85 (c'est le rapport des nombres de Nusselt des deux conditions), donc on obtient ∫b•x^-1/5 = 381.9, soit b≅240.

En définitive,
imp(x,0,0.22)•40x^-1/2+imp(x,0.22,0.3)•240x^-1/5

h(x) : discontinuité laminaire/turbulent

Le tableau suivant donne les puissances électriques nécessaires pour compenser les pertes thermiques (hors rendement électrique/thermique). L'énoncé de l'exemple demandait uniquement les éléments nécéssitant le plus de puissance, "non calculé" correspond à une absence de calcul, pas à une impossibilité.

Compléments

• Notes : La solution littérale impose la température et le coefficient de transfert thermique sur la surface de la plaque ce qui n'est pas compatible avec l'algorithme utilisé. On définit donc une épaisseur (10 mm) et une conductivité thermique proche de celle de l'inox (k = 14 W/K•m) .

Fichiers

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